Calcule a integral
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e também fazer uma substituição para resolver a integral facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
até 1. Isso significa que a região está abaixo da linha
no quadrado de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em
de
a 1, vamos integrar em
de 0 a
, e depois em
de 0 a 1. Ficando assim:
Passo 4
Observa que o integrando
não depende de
. Então, podemos simplificar a integral interna
que é simplesmente
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver
. Para isso, usamos a substituição
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Passo 7
A integral de
em relação a
é
. Então, avaliando de 0 a 1:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.