Calcule a integral integral0^1 integralx^1 e^-y^2 d y d x.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla integral0^1 integralx^1 e^-y^2 , dy , dx. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e também fazer uma substituição para resolver a integral facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos x variando de 0 a 1 e, para cada x, y varia de x até 1. Isso significa que a região está abaixo da linha y = x no quadrado de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em y de x a 1, vamos integrar em x de 0 a y, e depois em y de 0 a 1. Ficando assim:
integral0^1 integral0^y e^-y^2 , dx , dy

Passo 4

Observa que o integrando e^-y^2 não depende de x. Então, podemos simplificar a integral interna integral0^y dx que é simplesmente y. Assim, a integral fica:
integral0^1 y cdot e^-y^2 , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver integral0^1 y e^-y^2 , dy. Para isso, usamos a substituição u = y^2, então du = 2y , dy, ou seja, y , dy = du2.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integralu=0^1 12 e^-u , du = 12 integral0^1 e^-u , du

Passo 7

A integral de e^-u em relação a u é -e^-u. Então, avaliando de 0 a 1:
12 [-e^-u]0^1 = 12 (-e^-1 + e^0) = 12 (1 - e^-1)

Resposta

Portanto, o valor da integral é 1 - e^-12.

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