Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 1sin x-cos x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral 1sin x - cos x,dx
Este é um problema de integrais trigonométricas em que vamos usar identidades para simplificar o denominador.

Passo 2

Usamos a identidade de deslocamento de fase
sin x - cos x = raiz2,sinl(x - tfracpi4r)
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1sin x - cos x = 1raiz2,sinl(x - tfracpi4r) = 1raiz2;csc!l(x - tfracpi4r)
A integral fica
integral 1sin x - cos x,dx = 1raiz2;integral csc!l(x - tfracpi4r),dx

Passo 3

Recordamos que
integral csc u,du = lnl|tan(tfracu2)r| + C
Fazendo a substituição
u = x - tfracpi4, du = dx,
temos
integral csc!l(x - tfracpi4r),dx = ln!l|tanl(tfracx - pi/42r)r| + C

Passo 4

Voltando à variável x e lembrando do fator tfrac1raiz2, obtemos
integral 1sin x - cos x,dx = 1raiz2, ln!l|tanl(tfracx - pi/42r)r| + C
Podemos também escrever tfracx - pi/42 = tfracx2-tfracpi8.

Resposta

integral 1sin x - cos x,dx = 1raiz2, ln!l|tanl(tfracx2-tfracpi8r)r| + C

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