Calcule a integral integral0^pi integral0^3 cos theta integral0^3 r sin theta d z d r d theta.
[
\left(\mathrm{H}=9 \mathrm{~m}^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
Temos a integral
integral0^pi ! integral0^3 cos theta ! integral0^3 r , sin theta , d z , d r , d theta
O conteúdo é integração iterada de uma função em coordenadas cilíndricas (variáveis r,z,theta). Vamos usar a propriedade de que, se a integral de uma função positiva convergir, podemos integrar primeiro em z, depois em r e, por fim, em theta.

Passo 2

Primeiro, integramos em z de 0 até 3. Como a integranda não depende de z, esse passo é direto:
integral0^3 r , sintheta , d z = r , sintheta integral0^3 d z = 3 r , sintheta

Passo 3

Agora a integral reduz-se a
integral0^pi integral0^3 costheta 3 r , sintheta , d r , dtheta
Fatoramos o 3:
3 integral0^pi sintheta (integral0^3costheta r , d r) dtheta

Passo 4

Em seguida, calculamos a integral em r:
integral0^3costheta r , d r = l[tfrac12 r^2r]0^3costheta = tfrac12 l(3costhetar)^2 = tfrac92 cos^2theta
Substituindo na integral principal,
3 integral0^pi sintheta cdot tfrac92 cos^2theta , dtheta = 272 integral0^pi cos^2theta , sintheta , dtheta

Passo 5

Por fim, fazemos a substituição u = costheta, logo du = -sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi, u=-1. Assim,
integral0^pi cos^2theta , sintheta , dtheta = integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 , du = l[tfracu^33r]-1^1 = 1^3 - (-1)^33 = 23
Multiplicando pelo fator tfrac272:
272 cdot 23 = 9

Resposta

9 m^4

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