Calcule a integral .
[
\left(\mathrm{H}=\frac{2}{5} \mathrm{~m}^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integraly=-1^1 integralx=0^raiz1-y^2 integralz=0^x (x^2+y^2),dz,dx,dy
Isso envolve o uso do Teorema de Fubini e cálculo de integrais iteradas em z, depois x e por fim y.

Passo 2

Primeiro, integramos em z, lembrando que x e y são constantes nessa etapa:
integral0^x(x^2+y^2),dz=(x^2+y^2)integral0^xdz=(x^2+y^2),x=x^3+x,y^2

Passo 3

Agora a integral fica
integral-1^1integral0^raiz1-y^2(x^3+x,y^2),dx,dy
Integramos em x usando potências:
integral0^raiz1-y^2x^3,dx=14(raiz1-y^2)^4=(1-y^2)^24,
integral0^raiz1-y^2x,y^2,dx=y^2cdot(raiz1-y^2)^22=y^2(1-y^2)2

Passo 4

Somando essas duas parcelas obtemos antes de integrar em y:
(1-y^2)^24+y^2(1-y^2)2=(1-y^2)l(1-y^24+y^22r)=1-y^44

Passo 5

Agora a integral em y é
integral-1^11-y^44,dy=14l(integral-1^11,dy-integral-1^1y^4,dyr)
Como 1 é função par, integral-1^11,dy=2. E y^4 também é par, logo
integral-1^1y^4,dy=2integral0^1y^4,dy=2cdot15=25

Passo 6

Substituindo esses valores:
14l(2-25r)=14cdot85=25

Resposta

H=25,m^4

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