Exercício 8 Calcule o comprimento das seguintes curvas
(b) .

Passo 1

Beleza, temos a curva
gamma(t) = (e^-tcos t,;e^-tsin t,;e^-t), tin[0,1]
O conteúdo aqui é comprimento de curva em R^3, e vamos usar a fórmula
L = integral0^1 |gamma'(t)|,dt
Precisamos achar gamma'(t) e calcular sua norma.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
gamma'(t) = l(-e^-t(cos t + sin t),;e^-t(cos t - sin t),;-e^-tr)
Agora o quadrado da norma é
|gamma'(t)|^2 = e^-2tl[(cos t+sin t)^2 + (cos t-sin t)^2 + 1r] = 3e^-2t
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Passo 3

Substituímos na integral de comprimento e resolvemos:
L = integral0^1 raiz3,e^-t,dt = raiz3l[-e^-tr]0^1 = raiz3,(1 - e^-1)

Resposta

raiz3,(1 - e^-1)

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