Exercício 7 Considere
uma curva contínua e define a curva
pondo
Mostre que
, para todo
.
Passo 1
Resumo do enunciado e teoria: Temos uma curva contínua
e definimos
. Queremos mostrar que a derivada de
é
, ou seja, que vale o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais contínuas.
Passo 2
Definição de derivada: A derivada de
em
é dada pelo limite do quociente incremental. Escrevemos
Passo 3
Expressão do quociente incremental usando a integral: Substituindo a definição de
, temos
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Passo 4
Aplicação do Teorema do Valor Médio para integrais e limite: Como
é contínua em
, existe
tal que
Então
e, ao fazer
, o ponto
e pela continuidade de
obtém-se
Passo 5
Conclusão: Do limite do quociente incremental segue-se que
para todo
, conforme queríamos provar.