Exercício 7 Considere gamma:[a, b] R^n uma curva contínua e define a curva beta:[a, b] R^n pondo
beta(t)=integrala^t gamma(s) d s
Mostre que beta^prime(t)=gamma(t), para todo t in[a, b].

Passo 1

Resumo do enunciado e teoria: Temos uma curva contínua gamma:[a,b]toR^n e definimos beta(t)=integrala^tgamma(s),ds. Queremos mostrar que a derivada de beta é gamma, ou seja, que vale o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais contínuas.

Passo 2

Definição de derivada: A derivada de beta em t é dada pelo limite do quociente incremental. Escrevemos
beta'(t)=limhto0beta(t+h)-beta(t)h

Passo 3

Expressão do quociente incremental usando a integral: Substituindo a definição de beta, temos
beta(t+h)-beta(t)=integrala^t+hgamma(s),ds-integrala^tgamma(s),ds= integralt^t+hgamma(s),ds
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beta(t+h)-beta(t)h=1hintegralt^t+hgamma(s),ds

Passo 4

Aplicação do Teorema do Valor Médio para integrais e limite: Como gamma é contínua em [t,t+h], existe chin[t,t+h] tal que
integralt^t+hgamma(s),ds=gamma(ch),h
Então
beta(t+h)-beta(t)h=gamma(ch)
e, ao fazer hto0, o ponto chto t e pela continuidade de gamma obtém-se
limhto0gamma(ch)=gamma(t)

Passo 5

Conclusão: Do limite do quociente incremental segue-se que beta'(t)=gamma(t) para todo tin[a,b], conforme queríamos provar.

Resposta

beta'(t)=gamma(t) para todo tin[a,b].

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