Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
[(x+y)^{2},dx + \bigl(2xy + x^{2} - 1\bigr),dy = 0,\quad y(1)=1.
Isso é do conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos verificar a exatidão e usar o potencial de uma forma para resolver.
Isso é do conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos verificar a exatidão e usar o potencial de uma forma para resolver.
Passo 2
Temos as funções
logo a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = M(x,y) = (x+y)^{2}.
$$Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora usamos a outra condição
$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = N(x,y) = 2xy + x^{2} - 1.
\frac{\partial \phi}{\partial y} = (x+y)^{2} + h’(y).
(x+y)^{2} + h’(y) = x^{2} + 2xy - 1
h’(y) = -1 - y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -y - \frac{y^{3}}{3} + C_{1}.
$$
Passo 5
Substituindo de volta, a solução implícita geral fica
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
: