Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
[(x+y)^{2},dx + \bigl(2xy + x^{2} - 1\bigr),dy = 0,\quad y(1)=1.
Isso é do conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos verificar a exatidão e usar o potencial de uma forma para resolver.

Passo 2

Temos as funções
logo a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = M(x,y) = (x+y)^{2}.
$$Integramos em relação a partial phipartial x = M(x,y) = (x+y)^2 :
x
onde phi(x,y) = integral (x+y)^2,dx = (x+y)^33 + h(y), é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos a outra condição
$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = N(x,y) = 2xy + x^{2} - 1.
partial phipartial y = N(x,y) = 2xy + x^2 - 1
\frac{\partial \phi}{\partial y} = (x+y)^{2} + h’(y).
partial phi/partial y
(x+y)^{2} + h’(y) = x^{2} + 2xy - 1
partial phipartial y = (x+y)^2 + h'(y) ã
h’(y) = -1 - y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -y - \frac{y^{3}}{3} + C_{1}.
$$

Passo 5

Substituindo de volta, a solução implícita geral fica
phi(x,y) = (x+y)^33 - y^33 - y = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=1:
(1+1)^33 - 1^33 - 1 = C Longrightarrow 83 - 13 - 1 = C Longrightarrow C = 43

Resposta

(x+y)^33 - y^33 - y = 43

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