Calcule
integral-1^1 integral0^raiz1-y^2(y e^x^2+y^2) d x d y
Resp.: pi8

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla:
integral-1^1 integral0^raiz1-y^2(y e^x^2+y^2) dx , dy
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar funções de duas variáveis sobre uma região específica. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções com limites que dependem das variáveis e aplicar propriedades de simetria quando possível.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral externa é em relação a , de -1 a 1. Para cada valor de , varia de 0 até . Isso descreve uma região no plano que é a metade direita do círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral-1^1 integral0^raiz1-y^2 y e^x^2 dx , dy + integral-1^1 integral0^raiz1-y^2 y^2 dx , dy

Passo 4

Primeira parte: integral-1^1 integral0^raiz1-y^2 y e^x^2 dx , dy = 0
Note que é uma função impar em (porque é ímpar e é par). A integração de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero resulta em zero. Portanto:

Passo 5

Segunda parte: 2 integral0^1 integral0^raiz1-y^2 y^2 dx , dy
Aqui, 2 integral0^1 y^2 cdot raiz1 - y^2 , dy é uma função par, então podemos simplificar a integração:
Integrando em relação a :

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para resolver a integral. Seja 2 integral0^1 y^2 raiz1 - y^2 , dy , então integral0^1 y^2 raiz1 - y^2 , dy = pi16 . A integral se torna:
Podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecimento de uma integral padrão. Sabemos que:

Passo 7

Portanto, multiplicando por 2:
2 cdot pi16 = pi8

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados