Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
(i) Determine a área da região limitada pela curva f(x) = raiz(x) e 0 eixo x no intervalo x in [0, 4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pela curva , pelo eixo , no intervalo de . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas sob curvas usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a área sob a curva entre e , vamos calcular a integral definida dessa função nesse intervalo. A integral definida acumula a soma infinita de retângulos infinitamente estreitos sob a curva, o que nos dá a área desejada.

Passo 3

Vamos escrever a integral que representa essa área:
Aqui, representa a área que queremos encontrar, e é a função que define a curva.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos lembrar da regra de integração para potências de . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos lidando com uma integral definida.

Passo 5

No nosso caso, . Então, aplicando a regra de integração:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de 0 a 4:

Passo 7

Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A área da região limitada pela curva , pelo eixo no intervalo de é unidades de área.

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