Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
(i) Determine a área da região limitada pela curva
e 0 eixo
no intervalo
.
(i) Determine a área da região limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pela curva
, pelo eixo
, no intervalo de
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas sob curvas usando integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar a área sob a curva
entre
e
, vamos calcular a integral definida dessa função nesse intervalo. A integral definida acumula a soma infinita de retângulos infinitamente estreitos sob a curva, o que nos dá a área desejada.
Passo 3
Vamos escrever a integral que representa essa área:
Aqui,
representa a área que queremos encontrar, e
é a função que define a curva.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos lembrar da regra de integração para potências de
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos lidando com uma integral definida.
Passo 5
No nosso caso,
. Então, aplicando a regra de integração:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de 0 a 4:
Passo 7
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
A área da região limitada pela curva
, pelo eixo
no intervalo de
é
unidades de área.