Calcule:
(a) integral0^pi sen^2(4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o seno ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que ajuda a simplificar sin^2(ax) = 1 - cos(2ax)2 :
Essa identidade transforma a função seno ao quadrado em uma combinação de uma constante e uma função cosseno, o que facilita a integração.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, temos:
integral0^pi sin^2(4x) , dx = integral0^pi 1 - cos(8x)2 , dx
Aqui, substituímos por 4, então .

Passo 4

Agora, vamos separar a integral:
integral0^pi 1 - cos(8x)2 , dx = 12 integral0^pi 1 , dx - 12 integral0^pi cos(8x) , dx
Isso torna a integral mais simples de calcular, pois tratamos cada parte separadamente.

Passo 5

Integrando cada termo:
12 integral0^pi 1 , dx = 12 [ x ]0^pi = 12 (pi - 0) = pi2
E para o segundo termo:
12 integral0^pi cos(8x) , dx = 12 [ sin(8x)8 ]0^pi = 116 (sin(8pi) - sin(0)) = 0
Já que .

Resposta

A integral é igual a .

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