Calcule a integral
integral0^4 raiz2 x+1 d x

Passo 1

Queremos calcular a integral integral0^4 raiz2x+1,dx. Esse é um problema de integração de raiz quadrada de uma função afim, e a técnica mais direta aqui é a substituição.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 2x + 1, temos du = 2,dx e portanto dx = tfracdu2. Além disso, quando x=0 então u=1, e quando x=4 então u=9. A integral se transforma em:
integral0^4 raiz2x+1,dx = integral1^9 raizu;du2 = tfrac12integral1^9 u^12,du

Passo 3

Para integrar u^1/2, usamos a fórmula geral integral u^p,du = u^p+1p+1 para pneq-1. Aqui p=tfrac12, então:
tfrac12integral1^9 u^12,du = tfrac12cdot l[tfracu^32tfrac32r]1^9 = tfrac12cdot tfrac23,[u^32]1^9 = tfrac13,[u^32]1^9

Passo 4

Agora é só avaliar nos limites de u=1 a u=9:
tfrac13l(9^tfrac32-1^tfrac32r) = tfrac13(27 - 1) = tfrac263

Resposta

tfrac263

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