Use o critério da integral para verificar se a série abaixo é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1(4+2 n)^32

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar a convergência da série
sumn=1^infty 1(4 + 2 n)^32
usando o teste da integral, que compara a soma de termos positivos com uma integral imprópria associada.

Passo 2

Para aplicar o teste, definimos a função
f(x) = 1(4 + 2 x)^32,
que é positiva e decrescente para x >= 1.

Passo 3

Montamos a integral imprópria correspondente:
integral1^infty f(x), dx = integral1^infty dx(4 + 2 x)^32,
e fazemos a substituição t = 4 + 2 x, dt = 2,dx, o que leva o limite inferior a t=6.

Passo 4

Após a substituição, a integral passa a ser
12 integral6^infty t^-32, dt,
cuja primitiva é -t^-12. Avaliando de 6 até infty obtemos
-t^-12 |6^infty = 0 - l(-tfrac1raiz6r) = 1raiz6,
um valor finito, portanto a integral converge.

Passo 5

Pelo critério da integral, uma vez que a integral imprópria converge, a série
sumn=1^infty 1(4 + 2 n)^32
é também convergente.

Resposta

A série é convergente.

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