Calcule a integral
integral0^3(2 sen t-e^t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^3l(2sent - e^tr),dt. O conteúdo envolve regra da linearidade de integrais, antiderivadas básicas (de sent e de e^t) e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar a soma e diferença dentro do integrando:
integral0^3l(2sent - e^tr),dt = 2integral0^3sent,dt ; - ; integral0^3e^t,dt

Passo 3

Agora, identificamos as antiderivadas:
  • Para integral sent,dt, sabemos que a primitiva é -cos t.
  • Para integral e^t,dt, a primitiva é e^t.
    Assim, uma antiderivada comum é:
$$F(t) = -2\cos t ;-
e^{t}.$$

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F(t) de 0 a 3:
integral0^3l(2sent - e^tr),dt = F(3) - F(0),
onde
F(3) = -2cos 3 - e^3,
F(0) = -2cos 0 - e^0 = -2cdot1 -1 = -3

Passo 5

Subtraindo e simplificando, temos
F(3) - F(0) = l(-2cos 3 - e^3r) - (-3) = -2cos 3 - e^3 + 3 = 3 - 2cos 3 - e^3

Resposta

3 - 2cos 3 - e^3

Exercícios relacionados