Use indução para mostrar os seguintes fatos para todo
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para provar, usando indução matemática, que a soma dos números de 1 até n é igual a
. Isso faz parte de um conteúdo chamado indução matemática, que é uma técnica usada pra provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, a gente começa com a base da indução. Isso quer dizer que vamos verificar se a afirmação funciona pra n = 1. Vamos calcular a soma dos números de 1 até 1:
Viu? Está certinho! Então a base da indução tá ok.
Passo 3
Agora, vamos para a hipótese de indução. A gente assume que a afirmação é verdadeira pra um número qualquer k. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é importante porque vai nos ajudar a provar o próximo passo.
Passo 4
Chegou a hora do passo indutivo. Queremos mostrar que, se a afirmação é verdadeira pra n = k, então ela também é verdadeira pra n = k + 1. Vamos calcular a soma de 1 até k + 1:
Pela hipótese de indução, a soma de 1 até k é
. Então:
Pronto! Isso mostra que a afirmação também vale pra k + 1.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo
, a soma
é igual a
.