Use indução para mostrar os seguintes fatos para todo n in N :
1+2+3+cdots+n=n(n+1)2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para provar, usando indução matemática, que a soma dos números de 1 até n é igual a n(n+1)2. Isso faz parte de um conteúdo chamado indução matemática, que é uma técnica usada pra provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, a gente começa com a base da indução. Isso quer dizer que vamos verificar se a afirmação funciona pra n = 1. Vamos calcular a soma dos números de 1 até 1:
1 = 1(1+1)2 = 22 = 1
Viu? Está certinho! Então a base da indução tá ok.

Passo 3

Agora, vamos para a hipótese de indução. A gente assume que a afirmação é verdadeira pra um número qualquer k. Ou seja, vamos supor que:
1 + 2 + 3 + cdots + k = k(k+1)2
Essa suposição é importante porque vai nos ajudar a provar o próximo passo.

Passo 4

Chegou a hora do passo indutivo. Queremos mostrar que, se a afirmação é verdadeira pra n = k, então ela também é verdadeira pra n = k + 1. Vamos calcular a soma de 1 até k + 1:
1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1)
Pela hipótese de indução, a soma de 1 até k é k(k+1)2. Então:
k(k+1)2 + (k + 1) = k(k+1) + 2(k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)2 = (k + 1)((k + 1)+1)2
Pronto! Isso mostra que a afirmação também vale pra k + 1.

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo n in N, a soma 1 + 2 + 3 + cdots + n é igual a n(n+1)2.

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