(UFBA) Em um reservatório de água, o nível y varia com o tempo t, contando em horas a partir da meia-noite, conforme a função y=-1,3 t^2+7,8 t-4,2. Qual o instante em que o reservatório está mais cheio ?

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve o nível de água em função do tempo
y(t) = -1,3,t^2 + 7,8,t - 4,2
onde t é o tempo em horas a partir da meia-noite. Como o coeficiente de t^2 é negativo, a curva é uma parábola voltada para baixo e tem um ponto de máximo. Para encontrar o instante em que o reservatório está mais cheio, basta achar o vértice dessa parábola, o que pode ser feito via derivada ou pela fórmula do vértice.

Passo 2

Calcula-se a derivada primeira de y em relação a t:
y'(t) = ddtl(-1,3,t^2 + 7,8,t - 4,2r) = -2,6,t + 7,8

Passo 3

Determina-se o ponto crítico igualando a derivada a zero:
-2,6,t + 7,8 = 0 Longrightarrow t = 7,82,6 = 3

Passo 4

Verifica-se que a segunda derivada é
y''(t) = -2,6 < 0,
ou seja, é um máximo em t=3.

Resposta

O reservatório está mais cheio em t = 3 horas após a meia-noite.

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