Calcule a integral.
integral0^1 / 2 theta sen 3 pi theta d theta

Passo 1

Estamos buscando o valor da integral integral0^1/2 theta sen(3pitheta),dtheta. O conteúdo principal que vamos usar é integração por partes, que serve para integrais do tipo integral u,dv.

Passo 2

Escolhemos u = theta e dv = sen(3pitheta),dtheta. Então du = dtheta. Para encontrar v, integramos dv. Calculamos v fazendo a integral:
v = integral sen(3pitheta),dtheta = -cos(3pitheta)3pi

Passo 3

A aplicação da fórmula de partes integral u,dv = u,v - integral v,du leva a:
$$\int_{0}^{1/2} \theta \operatorname{sen}(3\pi\theta),d\theta
= \left[-\frac{\theta\cos(3\pi\theta)}{3\pi}\right]_{0}^{1/2}
  • \frac{1}{3\pi} \int_{0}^{1/2} \cos(3\pi\theta),d\theta.$$

Passo 4

O termo de fronteira é zero porque em theta=1/2 temos cos(3pi/2)=0 e em theta=0 o fator theta anula tudo. O integral restante é calculado assim:
13piintegral0^1/2cos(3pitheta),dtheta = 13pi[sin(3pitheta)3pi]0^1/2 = sin(3pi/2)-sin(0)9pi^2 = -19pi^2

Resposta

-\frac{1}{9\pi^2}

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