Calcule a integral.
Passo 1
Estamos buscando o valor da integral
. O conteúdo principal que vamos usar é integração por partes, que serve para integrais do tipo
.
Passo 2
Escolhemos
e
. Então
. Para encontrar
, integramos
. Calculamos
fazendo a integral:
Passo 3
A aplicação da fórmula de partes
leva a:
$$\int_{0}^{1/2} \theta \operatorname{sen}(3\pi\theta),d\theta
= \left[-\frac{\theta\cos(3\pi\theta)}{3\pi}\right]_{0}^{1/2}
= \left[-\frac{\theta\cos(3\pi\theta)}{3\pi}\right]_{0}^{1/2}
- \frac{1}{3\pi} \int_{0}^{1/2} \cos(3\pi\theta),d\theta.$$
Passo 4
O termo de fronteira é zero porque em
temos
e em
o fator
anula tudo. O integral restante é calculado assim:
Resposta
-\frac{1}{9\pi^2}