Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
x^3-4 x^2 y+3 x y^2+4 y^3=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
x^3-4x^2y+3xy^2+4y^3=4
O conteúdo aqui é diferenciação implícita: vamos derivar ambos os lados em relação a x e depois resolver para dydx.

Passo 2

Vamos derivar termo a termo, lembrando da regra do produto para aqueles que envolvem y(x) e da regra da cadeia para y^3(x):
ddx(x^3)-4ddx(x^2y)+3ddx(xy^2)+4ddx(y^3)=ddx(4)
Aplicando as regras, obtemos
3x^2-4l(2xy+x^2y'r)+3l(y^2+2xyy'r)+4l(3y^2y'r)=0

Passo 3

Agora, vamos distribuir e agrupar os termos sem y' de um lado e os que têm y' de outro:
Termos sem y':
3x^2-8xy+3y^2,
Termos com y':
-4x^2y'+6xyy'+12y^2y'
Então a soma fica
3x^2-8xy+3y^2+y'l(-4x^2+6xy+12y^2r)=0

Passo 4

Isolando y', temos
y'l(-4x^2+6xy+12y^2r)=-l(3x^2-8xy+3y^2r)
Dividindo ambos os lados por -4x^2+6xy+12y^2 e simplificando o sinal, chega-se a:

Passo 5

dydx=3x^2-8xy+3y^24x^2-6xy-12y^2

Resposta

dydx=3x^2-8xy+3y^24x^2-6xy-12y^2

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