Calcule a integral integralalpha F cdot d r :
(a) supondo F o campo vetorial F(x, y)=y^2 i+(2 x y-e^y) j, com (x, y) in R^2 e alpha:[0, pi2] R^2 dada por alpha(t)=(cos (t), sen(t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha . O exercício envolve cálculos com campos vetoriais e integrais de linha, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , calcular a derivada dessa parametrização, substituir na integral e então resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A curva é dada por para . Isso significa que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dalphadt = (-sen(t), cos(t)) em relação a , que é . Isso nos dá:
Isso representa um vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 4

Em seguida, substituímos F(alpha(t)) = (sen^2(t)) i + (2 cos(t) sen(t) - e^sen(t)) j e no campo vetorial :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(alpha(t)) cdot dalphadt = sen^2(t) cdot (-sen(t)) + (2 cos(t) sen(t) - e^sen(t)) cdot cos(t) :
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de integral0^pi2 ( -sen^3(t) + 2 cos^2(t) sen(t) - cos(t) e^sen(t) ) dt a :

Passo 7

Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
  1. . Podemos usar a identidade e integrar por partes.
  2. . Aqui, fazemos a substituição , então .
  3. . Novamente, fazemos a substituição , então .
Após resolver essas integrais, somamos os resultados.

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral vale .

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