Calcule a integral
:
(a) supondo
o campo vetorial
, com
dada por
.
(a) supondo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha
. O exercício envolve cálculos com campos vetoriais e integrais de linha, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, calcular a derivada dessa parametrização, substituir na integral e então resolver a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A curva é dada por para
. Isso significa que
e .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dá:
Isso representa um vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
Em seguida, substituímos
e
no campo vetorial
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 7
Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
- . Podemos usar a identidade e integrar por partes.
- . Aqui, fazemos a substituição
, então . - . Novamente, fazemos a substituição , então
.
Após resolver essas integrais, somamos os resultados.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral
vale
.