Seja C a curva dada pelo gráfico da função y=x raiz1-x, com x in[0,1]. Considere o campo vetorial F(x, y)=((y+1)^2, 2 x+sen^3 y)
© Utilize o Teorema de Green para calcular a integral integralC F d r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelo gráfico da função no intervalo e um campo vetorial . A gente quer calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a esse cenário.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
  1. Derivada de partial Qpartial x = partialpartial x ( 2x + sin^3(y) ) = 2 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( (y + 1)^2 ) = 2(y + 1) :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy = integral duplaD ( 2 - 2(y + 1) ) dx , dy = integral duplaD ( 2 - 2y - 2 ) dx , dy = integral duplaD (-2y) , dx , dy
Simplificando, a integral dupla fica:
-2 integral duplaD y , dx , dy

Passo 5

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. A curva é dada por para . Essa curva começa no ponto e termina em , formando uma espécie de arco acima do eixo .
Para integrar, vamos expressar em função de e definir os limites de de 0 a 1. Para cada nesse intervalo, varia de 0 até .

Passo 6

Vamos montar a integral dupla com esses limites:
-2 integralx=0^1 integraly=0^x raiz1 - x y , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^x raiz1 - x y , dy = [ y^22 ]0^x raiz1 - x = (x raiz1 - x)^22 = x^2 (1 - x)2 :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral principal:
-2 integral0^1 x^2 (1 - x)2 , dx = -2 cdot 12 integral0^1 x^2 (1 - x) , dx = -integral0^1 x^2 (1 - x) , dx
Simplificando:
-integral0^1 (x^2 - x^3) , dx

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
-[ x^33 - x^44 ]0^1 = -( ( 13 - 14 ) - (0 - 0) ) = -( 13 - 14 ) = -( 4 - 312 ) = -( 112 ) = -112

Resposta

A integral vale .

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