Seja C a curva dada pelo gráfico da função
, com
. Considere o campo vetorial
© Utilize o Teorema de Green para calcular a integral
.
© Utilize o Teorema de Green para calcular a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
definida pelo gráfico da função
no intervalo
e um campo vetorial
. A gente quer calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a esse cenário.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Simplificando, a integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. A curva
é dada por
para
. Essa curva começa no ponto
e termina em
, formando uma espécie de arco acima do eixo
.
Para integrar, vamos expressar
em função de
e definir os limites de
de 0 a 1. Para cada
nesse intervalo,
varia de 0 até
.
Passo 6
Vamos montar a integral dupla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral principal:
Simplificando:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Resposta
A integral
vale
.