Calcule a integral de linha
integralC raiz1+z-2 y+4 x^2 ds
em que C é a interseção do paraboloide
z=x^2+y^2
com o plano z=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você precisa fazer é calcular uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de uma curva específica. No seu caso, a integral que precisamos resolver é:
integralC raiz1 + z - 2 y + 4 x^2 , ds
Aqui, $ C $ é a interseção entre um paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e o plano $ z = 2 y $. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva $ C $ e calcular o diferencial de arco $ \mathrm{ds} $. Além disso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva $ C $, que é onde o paraboloide e o plano se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de $ z $:
C
Vamos rearranjar essa equação para facilitar a identificação da curva:
z
Isso pode ser reescrito como:
x^2 + y^2 = 2 y
O que reconhecemos como a equação de um círculo com raio 1 e centro no ponto $ (0, 1) $ no plano $ xy $.

Passo 3

Agora que sabemos que $ C $ é um círculo de raio 1 centrado em $ (0, 1) $, vamos parametrizar essa curva. Uma maneira comum de parametrizar um círculo é usando funções trigonométricas:
C
(0, 1)
Aqui, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para percorrer todo o círculo uma vez.

Passo 4

Com as parametrizações de $ x $ e $ y $, vamos encontrar $ z $ usando a equação do plano $ z = 2 y $:
x
Agora temos todas as coordenadas $ x(\theta) $, $ y(\theta) $ e $ z(\theta) $ em termos de $ \theta $.

Passo 5

O próximo passo é calcular o diferencial de arco $ \mathrm{ds} $. Para uma curva parametrizada por $ \theta $, temos:
ds
Vamos calcular cada derivada:
theta
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta
dxdtheta = -sin theta
Substituindo na expressão de $ \mathrm{ds} $:
dydtheta = cos theta
Aqui, usei a identidade trigonométrica $ \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 $.

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na integral original. A expressão dentro da raiz na integral é:
raiz1 + z - 2 y + 4 x^2
Substituindo $ z = 2 + 2 \sin \theta $, $ y = 1 + \sin \theta $ e $ x = \cos \theta $:
z = 2 + 2 sin theta
Então, a integral fica:
y = 1 + sin theta

Passo 7

Agora, precisamos integrar $ 1 + 4 \cos^{2} \theta $ em relação a $ \theta $ de $ 0 $ a $ 2\pi $. Vamos dividir a integral em duas partes:
1 + 4 cos^2 theta
Sabemos que:
theta
E, usando a identidade trigonométrica $ \cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $:
0
Então:
2pi

Resposta

Somando as duas partes da integral:
2pi + 4pi = 6pi
Então, o valor da integral de linha é $ 6\pi $.

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