Calcule a integral integralC F cdot d r, onde F é o campo
F=(2 x y cos (x^2)+z e^x, sen(x^2)+2 yy^2+1, e^x)
e C é a interseção da semi-esfera x^2+y^2+z^2=4, z >= 0 com o cilindro x^2+y^2=2 x contida na região y >= x e percorrida no sentido do decrescimento do x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde F é um campo vetorial dado por:
F = (2 x y cos (x^2)+z e^x, sin(x^2)+2 yy^2+1, e^x)
E C é a curva de interseção entre a semi-esfera x^2+y^2+z^2=4, z >= 0 e o cilindro x^2+y^2=2 x, na região y >= x, percorrida no sentido do decrescimento do x. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é a interseção entre a semi-esfera x^2+y^2+z^2=4 com z >= 0 e o cilindro x^2+y^2=2x. Para facilitar, vamos reescrever o cilindro:
x^2 + y^2 = 2x implies (x -1)^2 + y^2 =1
Isso mostra que o cilindro é na verdade um círculo de raio 1 centrado em (1, 0) no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva C. Como C é a interseção do cilindro com a semi-esfera, temos:
x = 1 + cos theta
y = sin theta
Onde theta varia de 0 a 2pi. Porém, como estamos na região y >= x e z >= 0, precisamos ajustar os limites de theta para atender essas condições.

Passo 4

Vamos encontrar a expressão para z na curva C. A partir da equação da semi-esfera:
z = raiz4 - x^2 - y^2
Substituindo x = 1 + cos theta e y = sin theta:
z = raiz4 - (1 + cos theta)^2 - (sin theta)^2 = raiz4 - 1 - 2cos theta - cos^2theta - sin^2theta
Como cos^2theta + sin^2theta =1:
z = raiz4 -1 -2cos theta -1 = raiz2 - 2cos theta = raiz2(1 - cos theta) = 2 sin(theta2)

Passo 5

Agora, temos a parametrização completa da curva C:
x(theta) = 1 + cos theta
y(theta) = sin theta
z(theta) = 2 sin(theta2)
Para theta variando nos valores que atendem y >= x e o sentido de decrescimento de x. Isso ocorre quando theta varia de pi4 a 5pi4.

Passo 6

Agora, vamos calcular o vetor dr, que é a derivada de r(theta) em relação a theta:
dxdtheta = -sin theta
dydtheta = cos theta
dzdtheta = cos(theta2)
Então,
dr = (-sin theta, cos theta, cos(theta2)) dtheta

Passo 7

Agora, vamos substituir x(theta), y(theta) e z(theta) no campo vetorial F:
F = (2xy cos(x^2) + z e^x, sin(x^2) + 2yy^2+1, e^x)
Substituindo:
F(theta) = [2(1 + cos theta)(sin theta) cos((1 + cos theta)^2) + 2 sin(theta2) e^1 + cos theta, sin((1 + cos theta)^2) + 2 sin thetasin^2theta +1, e^1 + cos theta]

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = [2(1 + cos theta)(sin theta) cos((1 + cos theta)^2) + 2 sin(theta2) e^1 + cos theta] (-sin theta) + [sin((1 + cos theta)^2) + 2 sin thetasin^2theta +1] (cos theta) + [e^1 + cos theta] [cos(theta2)]

Passo 9

Simplificando a expressão acima, podemos identificar que a integral resultará em uma expressão complexa que, em geral, pode não ter uma solução analítica simples. Portanto, para fins de cálculo exato, precisaríamos avaliar a integral numericamente.

Passo 10

Porém, observando as componentes de F e a parametrização, percebemos que o campo F pode ser conservativo ou que existe uma simplificação que pode ser aplicada. Para verificar se F é conservativo, precisamos checar se existe um potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $.
Calculando as derivadas parciais:
phi
F = nabla phi
Como partial F1partial y = 2x cos(x^2) , podemos continuar verificando as demais componentes e confirmar que partial F2partial x = 2x cos(x^2) é um campo conservativo. Então, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 11

Se F é conservativo, existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $. Assim, a integral de linha phi depende apenas dos valores de $ \phi $ nos pontos finais de F = nabla phi .
Entretanto, para curvas fechadas, como é o caso da interseção entre uma semi-esfera e um cilindro formando um círculo, a integral de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é zero.

Resposta

Portanto, a integral de linha integralC F cdot dr é igual a zero.

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