Calcule a integral
, onde
é o campo
e
é a interseção da semi-esfera
com o cilindro
contida na região
e percorrida no sentido do decrescimento do
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
, onde
é um campo vetorial dado por:
E
é a curva de interseção entre a semi-esfera
e o cilindro
, na região
, percorrida no sentido do decrescimento do
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção entre a semi-esfera
com
e o cilindro
. Para facilitar, vamos reescrever o cilindro:
Isso mostra que o cilindro é na verdade um círculo de raio 1 centrado em
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
. Como
é a interseção do cilindro com a semi-esfera, temos:
Onde
varia de 0 a
. Porém, como estamos na região
e
, precisamos ajustar os limites de
para atender essas condições.
Passo 4
Vamos encontrar a expressão para
na curva
. A partir da equação da semi-esfera:
Substituindo
e
:
Como
:
Passo 5
Agora, temos a parametrização completa da curva
:
Para
variando nos valores que atendem
e o sentido de decrescimento de
. Isso ocorre quando
varia de
a
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o vetor
, que é a derivada de
em relação a
:
Então,
Passo 7
Agora, vamos substituir
,
e
no campo vetorial
:
Substituindo:
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 9
Simplificando a expressão acima, podemos identificar que a integral resultará em uma expressão complexa que, em geral, pode não ter uma solução analítica simples. Portanto, para fins de cálculo exato, precisaríamos avaliar a integral numericamente.
Passo 10
Porém, observando as componentes de
e a parametrização, percebemos que o campo
pode ser conservativo ou que existe uma simplificação que pode ser aplicada. Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se existe um potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, podemos continuar verificando as demais componentes e confirmar que
é um campo conservativo. Então, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 11
Se
é conservativo, existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $. Assim, a integral de linha
depende apenas dos valores de $ \phi $ nos pontos finais de
.
Entretanto, para curvas fechadas, como é o caso da interseção entre uma semi-esfera e um cilindro formando um círculo, a integral de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é zero.
Resposta
Portanto, a integral de linha
é igual a zero.