Calcule a integral $ \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} $ para o campo dado $ \vec{F} $ e a curva especificada integralC F cdot d r .
F e C é a parábola F=-y sen(x) i+cos (x) j de C a y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r onde vec F(x,y) = -y,sin(x),vec i + cos(x),vec j e C é a parábola y = x^2 indo de (0,0) até (2,4). Isso é um problema de integral de linha de campo vetorial, onde podemos usar o teste de campo conservativo e potencial escalar.

Passo 2

Para verificar se vec F=(P,Q) é conservativo, calculamos as derivadas parciais: partial P/partial y = partial(-y,sin(x))/partial y = -sin(x) e partial Q/partial x = partial(cos(x))/partial x = -sin(x). Como elas coincidem e o domínio é simplesmente conexo, vec F é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi = vec F. Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral -y,sin(x),dx = y,cos(x) + g(y)
Derivando em relação a y e igualando a Q:
partialphipartial y = cos(x) + g'(y) = cos(x) implies g'(y)=0 implies g(y)=constante
Portanto podemos tomar phi(x,y)=ycos(x).

Passo 4

Como a integral de linha de um campo conservativo independe do caminho, vale o teorema fundamental:
integralC vec Fcdot dvec r = phi(2,4) - phi(0,0)
Calculando:
phi(2,4)=4cos(2), phi(0,0)=0cdotcos(0)=0,
logo a diferença é 4cos(2).

Resposta

4\cos(2)

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