Calcule a integral $ \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} $ para o campo dado $ \vec{F} $ e a curva especificada
.
e
é a parábola
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a parábola
indo de
até
. Isso é um problema de integral de linha de campo vetorial, onde podemos usar o teste de campo conservativo e potencial escalar.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
e
. Como elas coincidem e o domínio é simplesmente conexo,
é conservativo.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
Portanto podemos tomar
.
Passo 4
Como a integral de linha de um campo conservativo independe do caminho, vale o teorema fundamental:
Calculando:
logo a diferença é
.
Resposta
4\cos(2)