Questão 3
Seja
uma função de classe
. Suponhamos que existe
tal que para todo
e todo
a. Sejam
e
tal que
. Calcular
para todo
.
b. Usando a função
, provar que para todo
c. Provar que
é uma aplicação fechada (ou seja, a imagem de todo fechado é fechada).
d. Provar que
é um isomorfismo do
para todo
.
e. Provar que
é um difeomorfismo global de classe
.
b. Usando a função
d. Provar que
e. Provar que
Passo 1
A questão trata de uma função
de classe
que satisfaz a condição de coerção
para todo
e algum
. Precisamos: calcular um diferencial linear (item a), usar regra da cadeia e integração para obter desigualdade vetorial (b), mostrar que
é aplicação fechada ©, provar que
é isomorfismo linear (d) e deduzir que
é difeomorfismo global (e). Vamos usar conceitos de diferencial, integração de desigualdades, aplicação fechada e teorema da função inversa.
Passo 2
Para (a), defina
. Pelo cálculo do diferencial de uma forma linear, temos
Logo, para todo
,
.
Passo 3
Para (b), defina
Pela regra da cadeia e pelo resultado de (a),
Integrando de 0 a 1,
isto é,
Passo 4
Para ©, seja
fechado e considere uma sequência
tal que
. Do item (b) para
temos
logo
Como
é Cauchy em
, segue que
também é Cauchy e, por estar em
fechado,
. Pela continuidade,
, logo
. Assim
é fechado.
Passo 5
Para (d), se
então
implica
. Logo
é injetora e, por ser um mapa linear entre espaços de mesma dimensão finita, é um isomorfismo.
Passo 6
Para (e), como
é invertível em todo ponto, o Teorema da Função Inversa garante que
é difeomorfismo local de classe
. Para ver que
é globalmente injetora, use a desigualdade coerente: se
então
força
. Logo
é bijetora. Como
é contínua, bijetora e aplicação fechada, seu inverso é contínuo. Com isso,
é um difeomorfismo global de classe
.
Resposta
A função
é um difeomorfismo global de classe
.