Questão 3

Seja f: R^n R^n uma função de classe C^1. Suponhamos que existe alpha>0 tal que para todo x in R^n e todo h in R^n
lang<= d fx(h), hrang<= >= alphalang<= h, hrang<=
a. Sejam a, b in R^n e P: R^n R tal que P(x)=lang<= x, b-arang<=. Calcular d Px(h) para todo x, h in R^n.
b. Usando a função t varphi(t)=lang<= f(a+t(b-a)), b-arang<=, provar que para todo a, b in R^n
lang<= f(b)-f(a), b-arang<= >= alphalang<= b-a, b-arang<=
c. Provar que f é uma aplicação fechada (ou seja, a imagem de todo fechado é fechada).
d. Provar que d fx é um isomorfismo do R^n para todo x in R^n.
e. Provar que f é um difeomorfismo global de classe C^1.

Passo 1

A questão trata de uma função fcolonR^ntoR^n de classe C^1 que satisfaz a condição de coerção lang<= dfx(h),hrang<=>=alpha|h|^2 para todo x,h e algum alpha>0. Precisamos: calcular um diferencial linear (item a), usar regra da cadeia e integração para obter desigualdade vetorial (b), mostrar que f é aplicação fechada ©, provar que dfx é isomorfismo linear (d) e deduzir que f é difeomorfismo global (e). Vamos usar conceitos de diferencial, integração de desigualdades, aplicação fechada e teorema da função inversa.

Passo 2

Para (a), defina P(x)=lang<= x,b-arang<=. Pelo cálculo do diferencial de uma forma linear, temos
dPx(h)=limtto0P(x+th)-P(x)t=limtto0lang<= x+th,b-arang<=-lang<= x,b-arang<=t=lang<= h,b-arang<=
Logo, para todo x,h, dPx(h)=lang<= h,b-arang<=.

Passo 3

Para (b), defina
varphi(t)=lang<= f(a+t(b-a)),b-arang<=
Pela regra da cadeia e pelo resultado de (a),
varphi'(t)=lang<= dfa+t(b-a)(b-a),b-arang<=>=alphalang<= b-a,b-arang<=
Integrando de 0 a 1,
varphi(1)-varphi(0)=integral0^1varphi'(t),dt>=alphalang<= b-a,b-arang<=,
isto é,
lang<= f(b)-f(a),b-arang<=>=alpha|b-a|^2

Passo 4

Para ©, seja CsubsetR^n fechado e considere uma sequência (xk)subset C tal que f(xk)to y. Do item (b) para xk,xl temos
alpha|xl-xk|^2<=lang<= f(xl)-f(xk),xl-xkrang<=<=|f(xl)-f(xk)|,|xl-xk|,
logo
alpha|xl-xk|<=|f(xl)-f(xk)|
Como f(xk) é Cauchy em R^n, segue que xk também é Cauchy e, por estar em C fechado, xkto xin C. Pela continuidade, f(x)=y, logo yin f(C). Assim f(C) é fechado.

Passo 5

Para (d), se dfx(h)=0 então
0=lang<= dfx(h),hrang<=>=alpha|h|^2
implica h=0. Logo dfx é injetora e, por ser um mapa linear entre espaços de mesma dimensão finita, é um isomorfismo.

Passo 6

Para (e), como dfx é invertível em todo ponto, o Teorema da Função Inversa garante que f é difeomorfismo local de classe C^1. Para ver que f é globalmente injetora, use a desigualdade coerente: se f(b)=f(a) então
0=lang<= f(b)-f(a),b-arang<=>=alpha|b-a|^2
força b=a. Logo f é bijetora. Como f é contínua, bijetora e aplicação fechada, seu inverso é contínuo. Com isso, f é um difeomorfismo global de classe C^1.

Resposta

A função f é um difeomorfismo global de classe C^1.

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