Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
integralpi^2 pi csc ^2(theta) d theta

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral integralpi^2pi csc^2(theta),dtheta usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas; vamos precisar da antiderivada de csc^2(theta) e também verificar se a função é contínua em todo o intervalo.

Passo 2

Sabemos pela teoria que
integral csc^2(theta),dtheta = -cot(theta) + C
portanto a primitiva escolhida é F(theta) = -cot(theta).

Passo 3

Antes de aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos checar se csc^2(theta) é contínua em [pi,2pi]. Como csc^2(theta) = 1/sin^2(theta), há singularidades em theta=pi e theta=2pi (porque sintheta=0 nesses pontos). Então a integral é imprópria nos dois extremos.

Passo 4

Definimos a integral imprópria como limite duplo:
integralpi^2pi csc^2(theta),dtheta = limvarepsilonto0^+limde

Passo 5

Usando a primitiva,
integralpi+varepsilon^2pi-de

Passo 6

Como cot(pi+varepsilon)=cot(varepsilon) e cot(2pi-de, o valor fica
-(-cotde

Passo 7

Quando varepsilonto0^+ e de, temos cotvarepsilonto+infty e cotde. Logo o limite diverge para +infty.

Resposta

A integral não converge (diverge para +∞), portanto não existe como número real.

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