Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de
no intervalo de $-2$ a $-1$. O conteúdo é integral de funções potenciais e soma de integrais, e vamos precisar usar as regras de antiderivação de \(
\displaystyle x^n) e a propriedade da linearidade.
\displaystyle x^n) e a propriedade da linearidade.
Passo 2
Primeiro achamos a antiderivada de cada termo. Para \(
\displaystyle \frac{1}{x2}=x{-2}) usamos
\displaystyle \frac{1}{x2}=x{-2}) usamos
$$
\int x{-2},dx=\frac{x{-2+1}}{-2+1}=\frac{x{-1}}{-1}=-,x{-1}=-\frac{1}{x}.
$$
\int x{-2},dx=\frac{x{-2+1}}{-2+1}=\frac{x{-1}}{-1}=-,x{-1}=-\frac{1}{x}.
$$
E para \(
\displaystyle x) usamos
\displaystyle x) usamos
$$
\int x,dx=\frac{x^2}{2}.
$$
\int x,dx=\frac{x^2}{2}.
$$
Logo a antiderivada geral é
$$
F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}.
$$
F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}.
$$
Passo 3
Agora avaliamos \(
F(x)) nos limites: no superior \(
x=-1) e no inferior \(
x=-2).
F(x)) nos limites: no superior \(
x=-1) e no inferior \(
x=-2).
$$
F(-1)=-\frac{1}{-1}+\frac{(-1)^2}{2}=1+\frac12=\frac32,
$$
F(-1)=-\frac{1}{-1}+\frac{(-1)^2}{2}=1+\frac12=\frac32,
$$
$$
F(-2)=-\frac{1}{-2}+\frac{(-2)^2}{2}=\frac12+\frac{4}{2}=\frac12+2=\frac52.
$$
F(-2)=-\frac{1}{-2}+\frac{(-2)^2}{2}=\frac12+\frac{4}{2}=\frac12+2=\frac52.
$$
Passo 4
Por fim, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
$$
\int_{-2}{-1}\Bigl(\frac{1}{x2}+x\Bigr)dx=F(-1)-F(-2)=\frac32-\frac52=-1.
$$
\int_{-2}{-1}\Bigl(\frac{1}{x2}+x\Bigr)dx=F(-1)-F(-2)=\frac32-\frac52=-1.
$$
Resposta
-1