Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2(t^2+3 t-1) dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um polinômio no intervalo de 0 a 2. O conteúdo envolvido é integração de função polinomial, e vamos precisar usar a linearidade da integral e encontrar a primitiva (antiderivada) do integrando.

Passo 2

Pela propriedade da linearidade da integral, podemos separar:
integral0^2 l(t^2 + 3t - 1r),dt = integral0^2 t^2,dt + 3integral0^2 t,dt - integral0^21,dt
Agora, encontramos as primitivas de cada termo:
integral t^2,dt = t^33, integral t,dt = t^22, integral 1,dt = t
Assim, uma primitiva geral do integrando é:
F(t) = t^33 + 3cdott^22 - t = t^33 + 3t^22 - t

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando a primitiva de 0 a 2:
integral0^2 l(t^2 + 3t - 1r),dt = F(2) - F(0)
Calculando:
F(2) = 2^33 + 3cdot 2^22 - 2 = 83 + 3cdot42 - 2 = 83 + 6 - 2 = 83 + 4 = 203,
F(0) = 0,
portanto a diferença é 20/3 - 0.

Passo 4

Concluímos que o valor da integral definida é 20/3.

Resposta

20/3

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