Determine quem são os zeros de cada uma das funções e a respectiva ordem:
;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os zeros da função f(z)=zl(1-cos^2(z)r) e determinar a multiplicidade (ordem) de cada zero. O conteúdo principal aqui é zeros de funções analíticas e multiplicidade de zeros; vamos usar a identidade trigonométrica 1-cos^2(z)=sin^2(z) e a definição de multiplicidade.

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica, reescrevemos f(z) de forma mais simples:
f(z)=zl(1-cos^2(z)r)=zsin^2(z)

Passo 3

Para achar os zeros de f(z), observamos que um produto é zero se algum fator for zero. Assim,
  • z=0
  • sin^2(z)=0 implica sin(z)=0, ou seja z=npi, para ninZ.

Passo 4

Para determinar a ordem de cada zero, lembramos que se f(z)=(z-z0)^m g(z) com g(z0)neq0, então z0 é zero de ordem m.

Passo 5

Para nneq0, em z=npi o fator z não zera e sin(z) tem zero simples, logo sin^2(z) tem zero de ordem 2. Portanto, f tem zero de ordem 2 em cada z=npi, nneq0.

Passo 6

No ponto z=0, o fator z contribui com ordem 1 e sin^2(z) contribui com ordem 2 (já que sin(z)=z-tfracz^36+cdots). Logo, o zero em z=0 é de ordem 1+2=3.

Resposta

Os zeros de f(z) são z=npi para todo ninZ. A ordem é 3 em z=0 e 2 em cada z=npi com nneq0.

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