Calcule a integral
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral ao longo de uma curva
. O enunciado é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, calcular o diferencial de arco
e então substituir tudo na integral para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. Ela é dada por:
Isso significa que para cada valor de
entre
e
, temos um ponto na curva
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
,
e
a partir da parametrização:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade:
Calculando cada componente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo do vetor velocidade
, que é o diferencial de arco
:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos fatorar o 2:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos substituir tudo na integral original. A integral passa a ser:
Substituindo
,
, e
:
Como
,
é positivo, então
.
Passo 8
Substituindo tudo na integral:
Fatorando o 2 dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Rearranjando:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 10
Integrando
:
Portanto, a integral torna-se:
Voltando para
:
Passo 11
Agora, aplicamos os limites de integração:
Devido à simetria da função em relação a
, podemos multiplicar por 2:
No entanto, isso indica que há um erro na simetria assumida. Vamos recalcular considerando os limites corretamente.
Passo 12
Calculando
nos limites:
Para
:
Para
:
Isso mostra que a integral é zero, pois os limites superiores e inferiores são iguais.
Resposta
A integral calculada é igual a zero.