Calcule a integral
integralC(y-x) raizx y d s
onde C: r(t)=(1-cos t, 1+cos t, 2 sen t),|t| <= pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral ao longo de uma curva integralC(y - x) raizx y , ds . O enunciado é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , calcular o diferencial de arco e então substituir tudo na integral para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva r(t) = (1 - cos t, 1 + cos t, 2 sin t), |t| <= pi4 . Ela é dada por:
Isso significa que para cada valor de entre e , temos um ponto na curva .

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções x(t) = 1 - cos t , y(t) = 1 + cos t e z(t) = 2 sin t a partir da parametrização:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de r,'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) em relação a dxdt = sin t , que nos dá o vetor velocidade:
dydt = -sin t
Calculando cada componente:
dzdt = 2 cos t

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo do vetor velocidade |r,'(t)| = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , que é o diferencial de arco |r,'(t)| = raiz(sin t)^2 + (-sin t)^2 + (2 cos t)^2 = raizsin^2 t + sin^2 t + 4 cos^2 t = raiz2 sin^2 t + 4 cos^2 t :
|r,'(t)| = raiz2 (sin^2 t + 2 cos^2 t)
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos fatorar o 2:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que sin^2 t + 2 cos^2 t = ( sin^2 t + cos^2 t ) + cos^2 t = 1 + cos^2 t , então:
|r,'(t)| = raiz2 (1 + cos^2 t) = raiz2 + 2 cos^2 t
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos substituir tudo na integral original. A integral passa a ser:
integral-pi4^pi4 (y(t) - x(t)) raizx(t) y(t) cdot |r,'(t)| , dt
Substituindo y(t) - x(t) = (1 + cos t) - (1 - cos t) = 2 cos t , x(t) y(t) = (1 - cos t)(1 + cos t) = 1 - cos^2 t = sin^2 t , e raizx(t) y(t) = raizsin^2 t = |sin t| :
Como , é positivo, então .

Passo 8

Substituindo tudo na integral:
integral-pi4^pi4 2 cos t cdot sin t cdot raiz2 + 2 cos^2 t , dt
Fatorando o 2 dentro da raiz:
raiz2 + 2 cos^2 t = raiz2(1 + cos^2 t) = raiz2 raiz1 + cos^2 t
Então, a integral fica:
2 raiz2 integral-pi4^pi4 cos t cdot sin t cdot raiz1 + cos^2 t , dt

Passo 9

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = 1 + cos^2 t
dudt = -2 cos t sin t
Rearranjando:
cos t sin t , dt = -12 du
Substituindo na integral:
2 raiz2 cdot ( -12 ) integral raizu , du
Simplificando:
- raiz2 integral raizu , du

Passo 10

Integrando integral raizu , du = 23 u^3/2 + C :
- raiz2 cdot 23 u^3/2 = -2 raiz23 u^3/2
Portanto, a integral torna-se:
u = 1 + cos^2 t Rightarrow u^3/2 = (1 + cos^2 t)^3/2
Voltando para :

Passo 11

Agora, aplicamos os limites de integração:
[ -2 raiz23 (1 + cos^2 t)^3/2 ]-pi4^pi4
Devido à simetria da função em relação a - 2 raiz23 ( (1 + cos^2 (pi4))^3/2 - (1 + cos^2 (-pi4))^3/2 ) = 0 , podemos multiplicar por 2:
No entanto, isso indica que há um erro na simetria assumida. Vamos recalcular considerando os limites corretamente.

Passo 12

Calculando u = 1 + cos^2 ( pi4 ) = 1 + ( raiz22 )^2 = 1 + 12 = 32 nos limites:
Para u = 1 + cos^2 ( -pi4 ) = 1 + ( raiz22 )^2 = 1 + 12 = 32 :
Para :
Isso mostra que a integral é zero, pois os limites superiores e inferiores são iguais.

Resposta

A integral calculada é igual a zero.

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