Calcule a integral
integralC(1-z) e^-z d z
onde C é qualquer caminho ligando z0=0 a z1=pi i e expresse o resultado em forma polar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
integralC (1 - z) e^-z , dz
onde $ C $ é qualquer caminho que vai de $ z_0 = 0 $ até $ z_1 = \pi i $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de funções complexas, especificamente encontrar uma antiderivada da função dada e depois avaliar nos pontos finais. No final, vamos expressar o resultado em forma polar, que envolve a representação de um número complexo em termos de módulo e argumento.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada da função $ (1 - z) e^{-z} $. Ou seja, queremos uma função $ F(z) $ tal que
(1 - z) e^-z
Para isso, vamos integrar $ (1 - z) e^{-z} $ em relação a $ z $:
F(z)
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Primeiro, a integral de $ e^{-z} $:
e^-z
Agora, a integral de $ z e^{-z} $. Aqui, usamos integração por partes, onde escolhemos:
integral e^-z , dz = -e^-z + C
z e^-z
Aplicando a fórmula de integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
u = z Rightarrow du = dz
Agora, juntando as duas integrais:
dv = e^-z , dz Rightarrow v = -e^-z
Então, uma antiderivada de $ (1 - z) e^{-z} $ é $ F(z) = z e^{-z} $.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a $ \pi i $ usando a antiderivada encontrada:
pi i
Simplificando $ e^{-\pi i} $ usando a fórmula de Euler:
integral0^pi i (1 - z) e^-z , dz = F(pi i) - F(0) = pi i e^-pi i - 0 e^0 = pi i e^-pi i
Portanto:
e^-pi i

Resposta

A integral vale $ -\pi i $. Expressando em forma polar, temos:
-pi i
onde o módulo é $ \pi $ e o argumento é $ -\frac{\pi}{2} $ radianos.

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