Calcule a integral
onde
é qualquer caminho ligando
a
e expresse o resultado em forma polar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
onde $ C $ é qualquer caminho que vai de $ z_0 = 0 $ até $ z_1 = \pi i $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de funções complexas, especificamente encontrar uma antiderivada da função dada e depois avaliar nos pontos finais. No final, vamos expressar o resultado em forma polar, que envolve a representação de um número complexo em termos de módulo e argumento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada da função $ (1 - z) e^{-z} $. Ou seja, queremos uma função $ F(z) $ tal que
Para isso, vamos integrar $ (1 - z) e^{-z} $ em relação a $ z $:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 3
Primeiro, a integral de $ e^{-z} $:
Agora, a integral de $ z e^{-z} $. Aqui, usamos integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
Agora, juntando as duas integrais:
Então, uma antiderivada de $ (1 - z) e^{-z} $ é $ F(z) = z e^{-z} $.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a $ \pi i $ usando a antiderivada encontrada:
Simplificando $ e^{-\pi i} $ usando a fórmula de Euler:
Portanto:
Resposta
A integral vale $ -\pi i $. Expressando em forma polar, temos:
onde o módulo é $ \pi $ e o argumento é $ -\frac{\pi}{2} $ radianos.