Considere o Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
Fazendo c x d yd x=x-y y(1)=2 , estime o valor de h=0,25 utilizando o Método de Euler (ou de Taylor de f(1,75) Ordem).

Passo 1

Temos o PVI abaixo:
l x dydx = x - y y(1) = 2
O objetivo é estimar y(1.75) usando o Método de Euler com passo h = 0.25, que consiste em aproximar a solução de EDOs de primeira ordem por retas locais.

Passo 2

Para aplicar o método, precisamos colocar a EDO na forma dydx = f(x,y). Dividindo por x (supondo x neq 0), obtemos
dydx = x - yx
Portanto, definimos f(x,y) = x - yx.

Passo 3

Inicialmente, (x0,y0) = (1,2). Calculamos
f(1,2) = 1 - 21 = -1
Pelo método de Euler,
y1 = y0 + h,f(1,2) = 2 + 0.25 cdot (-1) = 1.75,
o que corresponde a x1 = 1.25.

Passo 4

No próximo passo, (x1,y1) = (1.25,1.75). Temos
f(1.25,1.75) = 1.25 - 1.751.25 = -0.4
Então
y2 = y1 + h,f(1.25,1.75) = 1.75 + 0.25 cdot (-0.4) = 1.65,
em x2 = 1.5.

Passo 5

Finalmente, em (x2,y2) = (1.5,1.65), calculamos
f(1.5,1.65) = 1.5 - 1.651.5 = -0.1
Logo,
y3 = y2 + h,f(1.5,1.65) = 1.65 + 0.25 cdot (-0.1) = 1.625,
para x3 = 1.75.

Resposta

y(1.75) approx 1.625

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