Determine a derivada direcional de
no ponto
e na direção dada pelo vetor
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função $ f(x, y) = y \ln(x) $ no ponto $ (1, -3) $ na direção do vetor $ \overrightarrow{\boldsymbol{u}} = \left( -\frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right) $. Para isso, vamos precisar usar as derivadas parciais e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ (1, -3) $.
Para $ f_x(1, -3) $:
Para $ f_y(1, -3) $:
Passo 4
A derivada direcional de $ f $ na direção do vetor $ \overrightarrow{\boldsymbol{u}} $ é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de $ f(x, y) = y \ln(x) $ no ponto $ (1, -3) $ na direção do vetor $ \overrightarrow{\boldsymbol{u}} = \left( -\frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right) $ é $ \frac{12}{5} $.