Seja f(x)=x^4-4 x^3+20, x in R.
Quais são os pontos críticos e os pontos de inflexão da função f (um ponto de inflexão é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura (a derivada de segunda ordem) troca o sinal).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos críticos e os pontos de inflexão da função $ f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 20 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Então, precisamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $.
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Podemos fatorar:
4x^3 - 12x^2 = 0
Isso nos dá duas soluções:
4x^2(x - 3) = 0
4x^2 = 0 implies x = 0
Então, os pontos críticos estão em $ x = 0 $ e $ x = 3 $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função muda de sinal, o que significa que a concavidade da função muda. Então, precisamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $.
A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
f(x)

Passo 5

Vamos encontrar onde $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Podemos fatorar:
12x^2 - 24x = 0
Isso nos dá duas soluções:
12x(x - 2) = 0
12x = 0 implies x = 0
Então, os possíveis pontos de inflexão estão em $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se realmente ocorre uma mudança de concavidade nesses pontos. Vamos analisar o sinal de $ f’’(x) $ em torno de $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
  • Para $ x = 0 $:
    • Se $ x < 0 $, por exemplo $ x = -1 $: f''(x)
    • Se $ x > 0 $, por exemplo $ x = 1 $: x = 0
    Houve mudança de concavidade de cima para baixo, então $ x = 0 $ é um ponto de inflexão.
  • Para $ x = 2 $:
    • Se $ x < 2 $, por exemplo $ x = 1 $: x = 2
    • Se $ x > 2 $, por exemplo $ x = 3 $: x = 0
    Houve mudança de concavidade de baixo para cima, então $ x = 2 $ também é um ponto de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 20 $ estão em $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Já os pontos de inflexão estão em $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

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