Verifique que as funções F(x)=sen^2 x e G(x)=-cos ^2 x são ambas primitivas de f(x)=2 cos x sen x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções
F(x)=sen^2 x
e
G(x)=-cos^2 x
são ambas primitivas de
f(x)=2cos x,sen x
O conteúdo usado será regra da cadeia e derivação de sen x e de cos x.

Passo 2

Calculamos F'(x). Como F(x)=l(sen xr)^2, pela regra da cadeia temos
F'(x)=2sen xcdotddx(sen x) =2sen xcdotcos x =2cos x,sen x
Portanto F'(x)=f(x).

Passo 3

Agora calculamos G'(x). Como G(x)=-l(cos xr)^2, aplicamos a regra da cadeia:
G'(x)=-2cos xcdotddx(cos x) =-2cos xcdot(-sen x) =2cos x,sen x
Logo G'(x)=f(x).

Passo 4

Concluímos que ambas satisfazem
F'(x)=2cos x,sen x e G'(x)=2cos x,sen x,
ou seja, ambas são primitivas de f(x)=2cos x,sen x. Além disso, nota-se que
G(x)-F(x)=-cos^2 x-sen^2 x=-1,
confirmando que diferem apenas por constante.

Resposta

As duas funções são primitivas de f(x) pois
F'(x)=2cos x,sen x e G'(x)=2cos x,sen x

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