A função f: R R dada por
f(x)=rll e^x, & se x <= 1 m x+b, & se & x>1
Encontre todos os valores de m e b para que f seja contínua e diferenciável.
( R: m=e, b=0 ).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= e^x, & x<= 1, m,x+b, & x>1,
e pede para escolher m e b de modo que f seja contínua e diferenciável em R. Como as duas peças já são suaves em seus domínios, precisamos apenas garantir continuidade e derivabilidade em x=1.

Passo 2

Para continuidade em x=1 exigimos
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)
Pela peça x<=1 temos f(1)=e^1=e. Pela peça x>1 o limite lateral à direita é
limxto1^+(m,x+b)=mcdot1+b=m+b
Logo a condição de continuidade é
m+b=e

Passo 3

Para diferenciabilidade em x=1 exigimos que as derivadas laterais coincidam em x=1. Pela peça x<=1 temos
f'(x)=ddxe^x=e^x,
portanto
f'(1^-)=e^1=e
Pela peça x>1 a derivada é constante f'(x)=m, então
f'(1^+)=m
Igualando as duas derivadas dá
m=e

Passo 4

Substituindo m=e na condição de continuidade m+b=e obtemos
e+b=e Longrightarrow b=0

Resposta

m=e,;b=0

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