Determine a expansão em série de Laurent da função
f(z)=e^-3 zz^3, z neq 0
em torno da origem z=0, identifique o resíduo correspondente ( Resz=0 f) e use isto para calcular a integral
integral|z|=1 f(z) d z

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
f(z)=e^-3zz^3
ao redor de z=0, identificar o resíduo em z=0 e usar o teorema dos resíduos para calcular
integral|z|=1f(z),dz
Vamos usar a série de Taylor de e^-3z, depois dividir por z^3 e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

A série de Taylor de e^-3z em torno de z=0 é
e^-3z = sumn=0^infty (-3z)^nn!

Passo 3

Dividindo por z^3, obtemos a série de Laurent de f(z):
f(z)=e^-3zz^3 =sumn=0^infty(-3)^nn!,z^,n-3

Passo 4

O resíduo em z=0 é o coeficiente de z^-1. Na soma aparece z^n-3, então
n-3=-1Longrightarrow n=2
Logo
Resz=0f =(-3)^22! =92

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos, para a curva |z|=1 orientada positivamente,
integral|z|=1f(z),dz =2pi i;Resz=0f =2pi i;92 =9pi i

Resposta

A expansão de Laurent é
sumn=0^infty(-3)^nn!,z^,n-3,
o resíduo em z=0 é tfrac92 e
integral|z|=1f(z),dz = 9pi i

Exercícios relacionados