Seja
a curva parametrizada por
. Determine:
O plano normal à curva
no ponto correspondente a
.
O plano normal à curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma curva no espaço tridimensional, definida por uma parametrização usando funções trigonométricas. O objetivo é encontrar o plano normal à curva no ponto correspondente a
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto na curva quando
. A curva está parametrizada por:
Substituindo
:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos achar o vetor tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos derivar a função vetorial
em relação a
:
Esse vetor derivado representa a direção da curva em cada ponto
.
Passo 4
Vamos calcular o vetor tangente no ponto
:
Então, o vetor tangente é
.
Passo 5
O plano normal à curva no ponto dado será perpendicular ao vetor tangente
e passará pelo ponto
. A equação de um plano perpendicular a um vetor
e que passa pelo ponto
é:
Aqui,
,
,
, e
.
Passo 6
Substituindo os valores na equação do plano:
Simplificando:
Ou reorganizando:
Resposta
A equação do plano normal à curva
no ponto correspondente a
é: