Seja C a curva parametrizada por r(t)=(cos t, sin t, 1-2 sin t), 0 <= t <= 2 pi. Determine:
O plano normal à curva C no ponto correspondente a t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma curva no espaço tridimensional, definida por uma parametrização usando funções trigonométricas. O objetivo é encontrar o plano normal à curva no ponto correspondente a t = 0 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto na curva quando t = 0 . A curva está parametrizada por:
r(t) = (cos t, sin t, 1 - 2 sin t)
Substituindo t = 0 :
r(0) = (cos 0, sin 0, 1 - 2 sin 0) = (1, 0, 1)
Então, o ponto de interesse é (1, 0, 1) .

Passo 3

Agora, precisamos achar o vetor tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos derivar a função vetorial r(t) em relação a t :
r'(t) = ( ddt cos t, ddt sin t, ddt (1 - 2 sin t) ) = (-sin t, cos t, -2 cos t)
Esse vetor derivado representa a direção da curva em cada ponto t .

Passo 4

Vamos calcular o vetor tangente no ponto t = 0 :
r'(0) = (-sin 0, cos 0, -2 cos 0) = (0, 1, -2)
Então, o vetor tangente é v = (0, 1, -2) .

Passo 5

O plano normal à curva no ponto dado será perpendicular ao vetor tangente v e passará pelo ponto (1, 0, 1) . A equação de um plano perpendicular a um vetor v = (A, B, C) e que passa pelo ponto (x0, y0, z0) é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Aqui, A = 0 , B = 1 , C = -2 , e (x0, y0, z0) = (1, 0, 1) .

Passo 6

Substituindo os valores na equação do plano:
0(x - 1) + 1(y - 0) + (-2)(z - 1) = 0
Simplificando:
0 + y - 2z + 2 = 0 Rightarrow y - 2z + 2 = 0
Ou reorganizando:
y - 2z = -2

Resposta

A equação do plano normal à curva C no ponto correspondente a t = 0 é:
y - 2z = -2

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