(2 pt)
Calcule a integral integralR integral ln (x^2+y^2) d x d y, sendo R o anel determinado por x^2+y^2=4 e x^2+y^2=25

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de ln(x^2+y^2) sobre o anel R definido por 2^2<= x^2+y^2<=5^2. Isso envolve mudança para coordenadas polares e técnica de integração por partes.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. A integral vira:
integral0^2pi!integral2^5ln(r^2),r,dr,dtheta

Passo 3

Como ln(r^2)=2ln r, focamos em
integral2^5rln(r^2),dr = 2integral2^5rln r,dr

Passo 4

Para integral rln r,dr fazemos integração por partes: seja u=ln r, dv=r,dr. Então
integral rln r,dr=r^22ln r - integralr^22cdot1r,dr = r^22ln r - r^24+C
Multiplicando por 2,
2integral rln r,dr = r^2ln r - r^22

Passo 5

Agora avaliamos de r=2 a r=5:
l[r^2ln r - tfracr^22r]2^5 = (25ln5 - 12.5) - (4ln2 -2) = 25ln5 -4ln2 -10.5
Por fim, integramos em theta de 0 a 2pi, multiplicando por 2pi.

Resposta

50\pi\ln5 - 8\pi\ln2 - 21\pi

Exercícios relacionados