Use o teste da comparação para verificar a convergência ou não:
sum k 3^k(k+1)!

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumk=1^infty k,3^k(k+1)!
usando o teste da comparação. Vamos comparar com uma série conhecida (a série exponencial) para concluir sobre a convergência.

Passo 2

Observe que
k,3^k(k+1)! =kk+1,3^kk!
Como para todo k>=1 vale
0<kk+1<1,
então os termos da nossa série satisfazem
0<= k,3^k(k+1)!<= 3^kk!

Passo 3

Considere a série
sumk=1^infty3^kk!
Essa é a série da função exponencial (menos o termo de k=0), e sabemos que
sumk=0^infty3^kk!=e^3<infty,
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sumk=1^infty3^kk!<= e^3<infty

Passo 4

Pelo teste da comparação, como
0<= k,3^k(k+1)!<= 3^kk!
e sum 3^k/k! converge, concluímos que
sumk=1^inftyk,3^k(k+1)!
também converge.

Resposta

A série sumk=1^inftyk,3^k(k+1)! é convergente.

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