Use o teste da comparação para verificar a convergência ou não:

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série cujo termo geral é
ak = k!2^,k+2
utilizando o teste da comparação. Vamos precisar comparar ak com uma outra sequência bk cuja série seja divergente ou convergente de forma conhecida.

Passo 2

Observamos que, para k>=4, temos
k! = 1cdot2cdot3cdot4cdots k ;>=; 2cdot2cdot2cdot2cdots2 ;=;2^,k-1
Logo, para k>=4,
ak = k!2^,k+2 ;>=;2^,k-12^,k+2 =12^3 =18
Definimos então
bk = 18 para k>=4,
de modo que ak>= bk>0.

Passo 3

A série sumk=4^infty bk é
sumk=4^infty 18
e, por ter termos constantes não nulos, seus somatórios parciais crescem indefinidamente. Portanto sum bk diverge.

Passo 4

Pelo teste da comparação (comparando ak com bk), como ak>= bk e sum bk diverge, concluímos que
sumk=1^infty ak
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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