Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^1|x^3|,dx
e interpretar esse valor como a área de uma região no plano, além de esboçar essa região. O conteúdo aqui é integração definida e interpretação da integral como área sob a curva de uma função não-negativa.
Passo 2
Observe que
|x^3| = l|xr|^3,
e que l|xr|^3 é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)). Para funções pares, vale a propriedade
integral-a^af(x),dx = 2integral0^af(x),dx
Passo 3
Aplicando essa propriedade, temos
integral-1^1|x|^3,dx = 2integral0^1x^3,dx
Passo 4
Calculemos
integral0^1x^3,dx = x^44|0^1 = 1^44-0 = 14
Passo 5
Multiplicando por 2,
2cdot14 = 12
Logo,
integral-1^1|x^3|,dx = 12
Passo 6
Interpretação geométrica: essa integral representa a área da região limitada pela curva
y = l|x^3r|
e o eixo x, para -1<= x<= 1. Como l|x^3r|>=0, a área sob a curva de -1 a 1 é exatamente tfrac12.
Passo 7
Esboço da região (gráfico de y=lvert x^3rvert e área abaixo):
A curva é y=x^3 para x>=0 e y=-x^3 para x<=0, formando uma “cunha” simétrica sobre o eixo x. A área sombreada abaixo dessa curva de -1 a 1 vale tfrac12.