Encontre a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas no intervalo de
a
. As funções
e
se cruzam nesse intervalo. Vamos achar o ponto de interseção delas para saber qual função está em cima e qual está embaixo nesse intervalo.
Passo 3
Para encontrar o ponto onde
, resolvemos:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Então,
Portanto, as curvas se cruzam em
.
Passo 4
Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de
a
e de
a
. Em cada intervalo, uma das funções estará acima da outra.
Passo 5
Para
, sabemos que
está acima de
, porque
e
diminui enquanto
aumenta nesse intervalo.
Já para
,
está acima de
, já que
e
.
Passo 6
A área total será a soma das áreas dos dois intervalos:
Passo 7
Vamos calcular a primeira integral:
Sabemos que
,
e
. Então:
Passo 8
Agora, calculamos a segunda integral:
Sabendo que
,
, e
:
Resposta
Somando as duas áreas calculadas:
Então, a área da região delimitada pelas curvas dadas é
unidades de área.