Encontre a área da região delimitada pelas curvas y=sen(x), y=cos (x), x=0 e x=pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas y = sin(x) , y = cos(x) , x = 0 e x = pi2 . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas no intervalo de x = 0 a x = pi2 . As funções sin(x) e cos(x) se cruzam nesse intervalo. Vamos achar o ponto de interseção delas para saber qual função está em cima e qual está embaixo nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde sin(x) = cos(x) , resolvemos:
sin(x) = cos(x)
Dividindo ambos os lados por cos(x) (desde que cos(x) neq 0 ):
tan(x) = 1
Então,
x = pi4
Portanto, as curvas se cruzam em x = pi4 .

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de 0 a pi4 e de pi4 a pi2 . Em cada intervalo, uma das funções estará acima da outra.

Passo 5

Para 0 <= x <= pi4 , sabemos que cos(x) está acima de sin(x) , porque cos(0) = 1 e cos diminui enquanto sin aumenta nesse intervalo.
Já para pi4 <= x <= pi2 , sin(x) está acima de cos(x) , já que sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0 .

Passo 6

A área total será a soma das áreas dos dois intervalos:
Área = integral0^pi4 [cos(x) - sin(x)],dx + integralpi4^pi2 [sin(x) - cos(x)],dx Á

Passo 7

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^pi4 [cos(x) - sin(x)],dx = [ sin(x) + cos(x) ]0^pi4 = ( sin(pi4) + cos(pi4) ) - ( sin(0) + cos(0) )
Sabemos que sin(pi4) = cos(pi4) = raiz22 , sin(0) = 0 e cos(0) = 1 . Então:
= ( raiz22 + raiz22 ) - (0 + 1) = raiz2 - 1

Passo 8

Agora, calculamos a segunda integral:
integralpi4^pi2 [sin(x) - cos(x)],dx = [ -cos(x) - sin(x) ]pi4^pi2 = ( -cos(pi2) - sin(pi2) ) - ( -cos(pi4) - sin(pi4) )
Sabendo que cos(pi2) = 0 , sin(pi2) = 1 , e sin(pi4) = cos(pi4) = raiz22 :
= ( -0 - 1 ) - ( -raiz22 - raiz22 ) = -1 - (-raiz2) = -1 + raiz2

Resposta

Somando as duas áreas calculadas:
Área Total = (raiz2 - 1) + (-1 + raiz2) = 2raiz2 - 2 Á
Então, a área da região delimitada pelas curvas dadas é 2raiz2 - 2 unidades de área.

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