Seja um cone maciço com altura h e raio de base R , com densidade volumétrica de massa (
) uniforme. Seu momento de inercia (
)é calculado por:
com
. Calcule o momento de inércia desse cone em relação ao seu eixo central (linha imaginária do centro da base do cone até seu vértice).
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um cone maciço com altura
e raio de base
. A densidade volumétrica de massa é uniforme, ou seja,
é constante. A gente precisa calcular o momento de inércia (
) desse cone em relação ao seu eixo central. Para isso, vamos usar a fórmula do momento de inércia:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação. Vamos precisar usar cálculo integral e coordenadas cilíndricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como expressar o elemento de massa
. Como a densidade é uniforme, podemos escrever:
onde
é o elemento de volume. No caso do cone, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas
, onde:
-
é a distância radial do eixo central, -
é o ângulo ao redor do eixo, -
é a altura.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
é dado por:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos expressar o limite de integração. No cone, o raio
varia de 0 até uma função da altura
. A relação entre
e
para um cone é:
Então, para cada
fixo,
vai de 0 até
. A altura
varia de 0 a
, e
varia de 0 a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral do momento de inércia:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver as integrais uma a uma. Primeiro, a integral em
:
Substituindo na expressão de
:
Agora, a integral em
:
Substituindo de novo:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar a densidade
com a massa total
do cone. O volume total do cone é:
Então, a massa
é:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
O momento de inércia do cone em relação ao seu eixo central é: