Seja um cone maciço com altura h e raio de base R , com densidade volumétrica de massa ( rho ) uniforme. Seu momento de inercia ( I )é calculado por:
I=integral r^2 d m
com d m=rho d V. Calcule o momento de inércia desse cone em relação ao seu eixo central (linha imaginária do centro da base do cone até seu vértice).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um cone maciço com altura h e raio de base R . A densidade volumétrica de massa é uniforme, ou seja, rho é constante. A gente precisa calcular o momento de inércia ( I ) desse cone em relação ao seu eixo central. Para isso, vamos usar a fórmula do momento de inércia:
I = integral r^2 , dm
Aqui, r é a distância de um elemento de massa dm ao eixo de rotação. Vamos precisar usar cálculo integral e coordenadas cilíndricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como expressar o elemento de massa dm . Como a densidade é uniforme, podemos escrever:
dm = rho , dV
onde dV é o elemento de volume. No caso do cone, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas (r, theta, z), onde:
  • r é a distância radial do eixo central,
  • theta é o ângulo ao redor do eixo,
  • z é a altura.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume dV é dado por:
dV = r , dr , dtheta , dz
Então, substituindo na expressão de dm :
dm = rho , r , dr , dtheta , dz

Passo 4

Agora, vamos expressar o limite de integração. No cone, o raio r varia de 0 até uma função da altura z . A relação entre r e z para um cone é:
r = Rh z
Então, para cada z fixo, r vai de 0 até Rh z . A altura z varia de 0 a h , e theta varia de 0 a 2pi .

Passo 5

Substituindo tudo na integral do momento de inércia:
I = integral0^2pi integral0^h integral0^Rhz r^2 cdot rho , r , dr , dz , dtheta
Simplificando:
I = rho integral0^2pi dtheta integral0^h dz integral0^Rhz r^3 , dr

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma a uma. Primeiro, a integral em r :
integral0^Rhz r^3 , dr = [ r^44 ]0^Rhz = 14 ( Rhz )^4 = R^44h^4 z^4
Substituindo na expressão de I :
I = rho integral0^2pi dtheta integral0^h R^44h^4 z^4 , dz
Agora, a integral em z :
integral0^h z^4 , dz = [ z^55 ]0^h = h^55
Substituindo de novo:
I = rho cdot 2pi cdot R^44h^4 cdot h^55 = rho cdot 2pi cdot R^4 h20 = rho pi R^4 h10

Passo 7

Agora, precisamos relacionar a densidade rho com a massa total M do cone. O volume total do cone é:
V = 13 pi R^2 h
Então, a massa M é:
M = rho V = rho cdot 13 pi R^2 h implies rho = 3Mpi R^2 h
Substituindo rho na expressão de I :
I = 3Mpi R^2 h cdot pi R^4 h10 = 3M R^210

Resposta

O momento de inércia do cone em relação ao seu eixo central é:
I = 310 M R^2

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