Uma reação química faz com que uma substância A combine-se com uma substância B para formar uma substância C, de acordo com a lei de ação de massas. Se a rapidez de formação de x g de C é dada por dxdt=k(8-x)(6-x) e 2 g de substância C formaram-se em 10 min , quantos gramas de C terão se formado em 15 min ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma reação química onde as substâncias A e B se combinam para formar a substância C, seguindo a lei de ação de massas. A gente precisa descobrir quantos gramas de C vão se formar em 15 minutos, sabendo que 2 gramas se formaram em 10 minutos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial para entender como a quantidade de C varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação que descreve a rapidez de formação de C:
dxdt = k(8 - x)(6 - x)
Aqui, x é a quantidade de C formada em gramas no tempo t (em minutos), e k é a constante da reação que queremos achar.

Passo 3

Sabemos que em 10 minutos, 2 gramas de C se formaram. Vamos usar isso para encontrar o valor de k. Substituindo x = 2 e t = 10 na equação:
dxdt = k(8 - 2)(6 - 2) dxdt = k(6)(4) dxdt = 24k
Mas para achar k, precisamos integrar a equação diferencial.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para separarmos as variáveis x e t:
dx(8 - x)(6 - x) = k , dt
Agora, vamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo em relação a x e o direito em relação a t.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
integral dx(8 - x)(6 - x)
Podemos usar frações parciais para facilitar. Escrevemos:
1(8 - x)(6 - x) = A8 - x + B6 - x
Multiplicando ambos os lados por (8 - x)(6 - x):
1 = A(6 - x) + B(8 - x)
Escolhendo valores de x para achar A e B:
  • Se x = 6:
1 = A(0) + B(8 - 6) 1 = 2B Rightarrow B = 12
  • Se x = 8:
1 = A(6 - 8) + B(0) 1 = -2A Rightarrow A = -12
Então:
1(8 - x)(6 - x) = -12(8 - x) + 12(6 - x)

Passo 6

Agora, integremos:
integral ( -12(8 - x) + 12(6 - x) ) dx = k integral dt -12 ln|8 - x| + 12 ln|6 - x| = kt + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
12 ln(6 - x8 - x) = kt + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
ln(6 - x8 - x) = 2kt + C'
Onde C' = 2C .

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar C’. Sabemos que quando t = 0, x = 0 (nenhuma substância formada no início):
ln(6 - 08 - 0) = 2k(0) + C' ln(68) = C' C' = ln(34)
Então, a equação fica:
ln(6 - x8 - x) = 2kt + ln(34)

Passo 8

Agora, vamos usar a informação que 2 gramas se formaram em 10 minutos para encontrar k. Substituindo x = 2 e t = 10:
ln(6 - 28 - 2) = 2k(10) + ln(34) ln(46) = 20k + ln(34)
Simplificando:
ln(23) - ln(34) = 20k ln(23 cdot 43) = 20k ln(89) = 20k
Então:
k = ln(89)20

Passo 9

Agora que temos k, vamos expressar a equação geral:
ln(6 - x8 - x) = 2k t + ln(34)
Substituindo k:
ln(6 - x8 - x) = 2 ln(89)20 t + ln(34) ln(6 - x8 - x) = ln(89)10 t + ln(34)

Passo 10

Queremos encontrar x em t = 15 minutos. Vamos substituir t = 15 na equação:
ln(6 - x8 - x) = ln(89)10 times 15 + ln(34) ln(6 - x8 - x) = 1.5 ln(89) + ln(34)
Vamos calcular os valores dos logaritmos:
1.5 ln(89) approx 1.5 times (-0.1178) approx -0.1767 ln(34) approx -0.2877
Então:
ln(6 - x8 - x) approx -0.1767 - 0.2877 = -0.4644

Passo 11

Agora, vamos resolver para x:
6 - x8 - x = e^-0.4644 approx 0.628 6 - x = 0.628 (8 - x) 6 - x = 5.024 - 0.628x - x + 0.628x = 5.024 - 6 -0.372x = -0.976 x = -0.976-0.372 approx 2.625 , g

Resposta

Após 15 minutos, aproximadamente 2,63 gramas da substância C serão formadas.

Exercícios relacionados