Uma reação química faz com que uma substância
combine-se com uma substância
para formar uma substância
, de acordo com a lei de ação de massas. Se a rapidez de formação de x g de C é dada por
e 2 g de substância
formaram-se em 10 min , quantos gramas de
terão se formado em 15 min ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma reação química onde as substâncias A e B se combinam para formar a substância C, seguindo a lei de ação de massas. A gente precisa descobrir quantos gramas de C vão se formar em 15 minutos, sabendo que 2 gramas se formaram em 10 minutos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial para entender como a quantidade de C varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação que descreve a rapidez de formação de C:
Aqui, x é a quantidade de C formada em gramas no tempo t (em minutos), e k é a constante da reação que queremos achar.
Passo 3
Sabemos que em 10 minutos, 2 gramas de C se formaram. Vamos usar isso para encontrar o valor de k. Substituindo x = 2 e t = 10 na equação:
Mas para achar k, precisamos integrar a equação diferencial.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para separarmos as variáveis x e t:
Agora, vamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo em relação a x e o direito em relação a t.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
Podemos usar frações parciais para facilitar. Escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Escolhendo valores de x para achar A e B:
- Se x = 6:
- Se x = 8:
Então:
Passo 6
Agora, integremos:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
.
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar C’. Sabemos que quando t = 0, x = 0 (nenhuma substância formada no início):
Então, a equação fica:
Passo 8
Agora, vamos usar a informação que 2 gramas se formaram em 10 minutos para encontrar k. Substituindo x = 2 e t = 10:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Agora que temos k, vamos expressar a equação geral:
Substituindo k:
Passo 10
Queremos encontrar x em t = 15 minutos. Vamos substituir t = 15 na equação:
Vamos calcular os valores dos logaritmos:
Então:
Passo 11
Agora, vamos resolver para x:
Resposta
Após 15 minutos, aproximadamente 2,63 gramas da substância C serão formadas.