Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede
F(x)=x cdot e^x,
em um ponto a x metros da origem, com F dado em newtons. Calcule o trabalho realizado para mover a partícula de x=0 até x=1 metro.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A gente tem uma força que depende da posição no eixo x, dada por F(x) = x cdot e^x. A missão é calcular o trabalho feito por essa força para mover uma partícula do ponto x = 0 até x = 1 metro. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força variável, que envolve calcular uma integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o trabalho ( W) realizado por uma força variável ao longo de um caminho é dado pela integral da força em relação à distância. Matemáticamente, isso é expresso como:
W = integrala^b F(x) , dx
No nosso caso, a = 0 e b = 1, e a força F(x) = x cdot e^x.

Passo 3

Então, vamos montar a integral que vai nos dar o trabalho:
W = integral0^1 x cdot e^x , dx
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar uma função que é o produto de x e e^x, usamos o método de integração por partes.

Passo 4

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x (então, du = dx)
  • dv = e^x , dx (então, v = e^x)

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - integral e^x , dx
A próxima etapa é integrar integral e^x , dx, que é bem direta.

Passo 6

A integral de e^x é simplesmente e^x, então temos:
integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - e^x + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos calculando um trabalho definido entre 0 e 1, essa constante vai se cancelar.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a 1:
W = [ x cdot e^x - e^x ]0^1
Isso significa que vamos substituir x por 1 e depois por 0, e subtrair os resultados.

Passo 8

Substituindo x = 1:
1 cdot e^1 - e^1 = e - e = 0
Substituindo x = 0:
0 cdot e^0 - e^0 = 0 - 1 = -1

Passo 9

Agora, calculamos a diferença:
W = 0 - (-1) = 1 J

Resposta

O trabalho realizado para mover a partícula de x = 0 até x = 1 metro é de 1 joule.

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