Uma partícula é movida ao longo do eixo
por uma força que mede
em um ponto a
metros da origem, com
dado em newtons. Calcule o trabalho realizado para mover a partícula de
até
metro.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A gente tem uma força que depende da posição no eixo
, dada por
. A missão é calcular o trabalho feito por essa força para mover uma partícula do ponto
até
metro. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força variável, que envolve calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o trabalho (
) realizado por uma força variável ao longo de um caminho é dado pela integral da força em relação à distância. Matemáticamente, isso é expresso como:
No nosso caso,
e
, e a força
.
Passo 3
Então, vamos montar a integral que vai nos dar o trabalho:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar uma função que é o produto de
e
, usamos o método de integração por partes.
Passo 4
A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
-
(então, ) -
(então, )
Passo 5
Aplicando a fórmula:
A próxima etapa é integrar
, que é bem direta.
Passo 6
A integral de
é simplesmente
, então temos:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando um trabalho definido entre
e
, essa constante vai se cancelar.
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da integral definida de
a
:
Isso significa que vamos substituir
por
e depois por
, e subtrair os resultados.
Passo 8
Substituindo
:
Substituindo
:
Passo 9
Agora, calculamos a diferença:
Resposta
O trabalho realizado para mover a partícula de
até
metro é de 1 joule.