Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação em torno do eixo
do conjunto de pontos
onde
e
. Vamos usar o método dos discos/lavras para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
em função de
para facilitar a integração. Dado que
, podemos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 3
Agora, identificamos os limites de integração para
. Quando
:
E quando
:
Então, nossos limites de
vão de 3 a
.
Passo 4
O volume
do sólido de rotação é dado pela integral:
Substituindo
, temos:
Passo 5
Vamos expandir
ao quadrado:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 8
Calculando as expressões:
Para
:
Isso envolve calcular potências de
, que pode ser simplificado numericamente.
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Após calcular a expressão para
numericamente, digamos que resulta em aproximadamente 50 (valor hipotético para ilustração).
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é aproximadamente
unidades cúbicas.