Um certo elemento radioativo tem a sua decomposição governada pela equação
onde
é a constante de decaimento. Determine o tempo de meia vida desse elemento em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a decomposição de um elemento radioativo, que segue a equação
. Aqui,
é a quantidade do elemento que resta após o tempo
,
é a quantidade inicial, e
é a constante de decaimento. Nosso objetivo é descobrir o tempo de meia-vida desse elemento, que é o tempo necessário para que metade da substância inicial se decomponha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o tempo de meia-vida. É o tempo que leva para a quantidade inicial de uma substância radioativa cair para metade. Então, matematicamente, queremos encontrar
quando
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação original pela metade de
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Passo 5
Para resolver para
, precisamos “desfazer” o exponencial. Fazemos isso aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Resposta
O tempo de meia-vida desse elemento é
.