Um certo elemento radioativo tem a sua decomposição governada pela equação
N(t)=N0 e^-gamma t
onde gamma é a constante de decaimento. Determine o tempo de meia vida desse elemento em função de gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a decomposição de um elemento radioativo, que segue a equação N(t) = N0 e^-gamma t . Aqui, N(t) é a quantidade do elemento que resta após o tempo t , N0 é a quantidade inicial, e gamma é a constante de decaimento. Nosso objetivo é descobrir o tempo de meia-vida desse elemento, que é o tempo necessário para que metade da substância inicial se decomponha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tempo de meia-vida. É o tempo que leva para a quantidade inicial de uma substância radioativa cair para metade. Então, matematicamente, queremos encontrar t quando N(t) = N02 .

Passo 3

Vamos substituir N(t) na equação original pela metade de N0 :
N02 = N0 e^-gamma t

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir ambos os lados por N0 (desde que N0 neq 0 ):
12 = e^-gamma t

Passo 5

Para resolver para t , precisamos “desfazer” o exponencial. Fazemos isso aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(12) = -gamma t
Sabemos que ln(12) = -ln 2 , então:
-ln 2 = -gamma t

Passo 6

Agora, vamos isolar t :
t = ln 2gamma

Resposta

O tempo de meia-vida desse elemento é T1/2 = dfracln 2gamma .

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