Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=(cos 2 y) raiz4-sen^2 x e B o retângulo de vértices (0,0), (0, pi2) e (pi2, pi2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde a função f(x, y) = (cos 2y) raiz4 - sin^2x e a região B é um retângulo com vértices em (0,0), (0, pi2) e (pi2, pi2). Nós vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e propriedades de funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração B. Como é um retângulo com vértices dados, isso significa que x varia de 0 a pi2 e y também varia de 0 a pi2. Então, podemos escrever a integral dupla como:
integral0^pi2 integral0^pi2 (cos 2y) raiz4 - sin^2x , dy , dx

Passo 3

Observamos que a função f(x, y) = (cos 2y) raiz4 - sin^2x pode ser separada em duas partes: uma que depende apenas de y e outra que depende apenas de x. Isso facilita a integração, pois podemos separar a integral dupla em duas integrais simples.

Passo 4

Vamos reescrever a integral separando as partes que dependem de x e y:
integral0^pi2 raiz4 - sin^2x ( integral0^pi2 cos 2y , dy ) dx
Aqui, raiz4 - sin^2x é uma função de x e cos 2y é uma função de y.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna, que é:
integral0^pi2 cos 2y , dy
Sabemos que a integral de cos ay em relação a y é 1a sin ay. Aplicando isso:
integral cos 2y , dy = 12 sin 2y + C
Agora, avaliamos os limites de 0 a pi2:
[ 12 sin 2y ]0^pi2 = 12 sin pi - 12 sin 0 = 12 cdot 0 - 12 cdot 0 = 0

Passo 6

Com o resultado da integral interna sendo zero, a expressão completa da integral dupla fica:
integral0^pi2 raiz4 - sin^2x cdot 0 , dx = 0
Isso porque qualquer número multiplicado por zero é zero.

Resposta

A integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy é igual a 0.

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