Calcule
sendo dados:
e
o retângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde a função
e a região
é um retângulo com vértices em
,
e
. Nós vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e propriedades de funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Como é um retângulo com vértices dados, isso significa que
varia de
a
e
também varia de
a
. Então, podemos escrever a integral dupla como:
Passo 3
Observamos que a função
pode ser separada em duas partes: uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Isso facilita a integração, pois podemos separar a integral dupla em duas integrais simples.
Passo 4
Vamos reescrever a integral separando as partes que dependem de
e
:
Aqui,
é uma função de
e
é uma função de
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna, que é:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Agora, avaliamos os limites de
a
:
Passo 6
Com o resultado da integral interna sendo zero, a expressão completa da integral dupla fica:
Isso porque qualquer número multiplicado por zero é zero.
Resposta
A integral dupla
é igual a
.