( 1,0 ponto extra) Use a derivação implícita para achar uma equação da reta tangente a curva x^{3}-x y+y^{4}=7 no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva definida implicitamente por
x^{3} - x\,y + y^{4} = 7
no ponto (2,1). Vamos usar derivação implícita para obter \frac{dy}{dx}, depois avaliar em (2,1) e usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
x^{3} - x\,y + y^{4} = 7
em relação a x, obtemos
3x^{2} - \bigl(x\cdot\tfrac{dy}{dx} + y\cdot1\bigr) + 4y^{3}\,\tfrac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agrupando os termos com \tfrac{dy}{dx}:
3x^{2} - y - x\,\tfrac{dy}{dx} + 4y^{3}\,\tfrac{dy}{dx} = 0
\bigl(4y^{3} - x\bigr)\,\tfrac{dy}{dx} = y - 3x^{2}
\tfrac{dy}{dx} = \frac{y - 3x^{2}}{4y^{3} - x}.

Passo 4

No ponto (2,1) temos
y - 3x^{2} = 1 - 3\cdot2^{2} = 1 - 12 = -11, \quad 4y^{3} - x = 4\cdot1^{3} - 2 = 4 - 2 = 2,
logo a inclinação é
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,1)} = -\frac{11}{2}.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação y - y_{0} = m\,(x - x_{0}), a reta tangente em (2,1) fica
y - 1 = -\frac{11}{2}\,(x - 2).

Resposta

y - 1 = -\frac{11}{2}\,(x - 2).

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