Encontre a Transformada inversa de:
F(s)=\frac{2(s-1) e^{-2 s}}{s^{2}-2 s+2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{2(s-1)e^{-2s}}{s^{2}-2s+2},
que envolve um fator de atraso e^{-2s} e uma função racional. Para resolver, vamos usar o teorema do deslocamento no tempo (time-shift) e tabelas de transformada de Laplace de exponenciais e cossenos.

Passo 2

Isolamos o fator de atraso em F(s). Definimos
G(s)=\frac{2(s-1)}{s^{2}-2s+2}
de modo que
F(s)=e^{-2s}\,G(s).

Passo 3

Reescrevemos o denominador de G(s) completando o quadrado:
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Assim
G(s)=\frac{2(s-1)}{(s-1)^{2}+1}.

Passo 4

Reconhecemos na tabela de Laplace que
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}(s) =\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
Multiplicando por 2 obtemos
\mathcal{L}\{2e^{t}\cos t\}(s) =\frac{2(s-1)}{(s-1)^{2}+1} =G(s).
Logo a transformada inversa de G(s) é
g(t)=2e^{t}\cos t.

Passo 5

Pelo teorema do deslocamento no tempo,
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}G(s)\}(t) =g(t-2)\,u(t-2),
onde u(t) é a função de Heaviside. Portanto
f(t)=2e^{\,t-2}\cos(t-2)\,u(t-2).

Resposta

f(t)=2e^{\,t-2}\cos(t-2)\,u(t-2).

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