Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
integral0^2 integraly / 2^1 cos (x^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integraly/2^1cos(x^2),dx,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é Integração Dupla e o teorema de Fubini, que nos permite inverter a ordem para facilitar o cálculo.

Passo 2

A região de integração é dada por
0<= y<= 2e tfrac y2<= x<= 1
Para inverter, identificamos para cada x quais valores de y satisfazem essas desigualdades. De x>= y/2 vem y<= 2x. Como y>=0 e nunca ultrapassa 2, e x em [0,1], concluímos:
0<= x<= 1, 0<= y<= 2x

Passo 3

Invertendo a ordem, a integral vira
integralx=0^1integraly=0^2xcos(x^2),dy,dx

Passo 4

Como cos(x^2) independe de y, podemos fazer a integral interna imediatamente:
integraly=0^2xcos(x^2),dy = cos(x^2)l[yr]0^2x = 2xcos(x^2)
Assim sobrou
integral0^12xcos(x^2),dx

Passo 5

Para calcular
integral0^12xcos(x^2),dx,
faço a substituição u=x^2, logo du=2x,dx. Os limites vão de u(0)=0 até u(1)=1. A integral fica
integral0^1cos(u),du = sin(u)l|0^1 = sin(1)-sin(0) = sin(1)

Resposta

sin(1)

Exercícios relacionados